バイトから社員になれますか？

はい、なれます。
アルバイトから社員へ昇格する例は少なくありません。
もともと「バイトだから」「社員だから」といった理由で与える仕事に大きな差は設けていないという事もあり、意欲のあるスタッフには仕事が集まります。
そこで信頼を重ねていける人は、会社から先に声を掛かけていきます。